En vigas de alas anchas o de escasa rigidez torsional, el pandeo flexional convencional puede ir acompañado de la aparición de una torsión de la sección, resultando un modo de fallo mixto conocido como pandeo torsional o pandeo lateral. El momento torsor crítico para el cual aparecería ese tipo de fallo viene dado por:[4]​.

Donde las nuevas magnitudes son:.

Y el resto de magnitudes tienen el mismo significado que para el pandeo flexional puro. En piezas donde el momento de alabeo es despreciable puede usarse la expresión aproximada:.

Curva elástica

Una manera de encontrar la carga crítica de una estructura consiste en presuponer la forma cualitativa en que esta pandeará, parametrizando esa forma cualitativa mediante varios parámetros incógnita. Introduciendo esa forma cualitativa en la ecuación de la curva elástica y buscando que la solución parametrizada satisfaga las condiciones de contorno cualitativas, que normalmente se refieren a desplazamientos y giros de los nudos de las barras de la estructura, se obtienen relaciones entre los parámetros incógnita introducidos. El valor de la carga crítica es precisamente el que hace que dichas relaciones se cumplan.

El método de Euler para barras aisladas es un ejemplo de uso de este método. Por ejemplo para determinar la carga crítica de un pilar empotrado en su base y libre en el extremo tratamos de resolver la ecuación de la curva elástica bajo las siguientes condiciones:.

La solución de esa ecuación, en función del parámetro de desplazamiento horizontal del pilar, resulta ser:.

La condición de contorno en el extremo superior (donde h = H y w = δ) solo se cumple para ciertos valores de P, que cumplen:.

El menor de estos valores es precisamente el valor aceptado para la carga crítica de Euler de un pilar empotrado en su base y libre en su parte superior:.

Métodos energéticos

Para estructuras de una cierta complejidad el método anterior resulta de muy difícil aplicación, ya que requiere integrar un número elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal de la estructura.

Un método aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar la energía de deformación W con el trabajo exterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo W durante la deformación, W = W. Esas dos ecuaciones pueden escribirse en términos el campo de desplazamientos de los momentos flectores asociados. Para cada elemento lineal la energía de deformación y el trabajo exterior vienen dados por:.

Donde:.

Cuanto más ajustado sea el campo de desplazamientos supuesto w(x) mejores resultados da el método anterior.

En ingeniería estructural existe una necesidad práctica de dimensionar los elementos lineales sometidos a compresión con la suficiente sección transversal como para que no fallen por pandeo. La sección transversal necesaria para que eso no ocurra es muchas veces mayor que la que sería necesaria para soportar un esfuerzo de tracción de la misma magnitud (entre 1,5 y 6 veces en la mayoría de casos). La mayoría de normas usan un coeficiente de reducción de la resistencia cuando el esfuerzo sobre el elemento lineal es de compresión y no de tracción. El Eurocódigo por ejemplo da para la resistencia de un pilar sometido a compresión y tracción simples las siguientes resistencias:.

Donde:.

El mismo coeficiente se puede usar para estimar por exceso la tensión y determinar si un elemento es seguro. Así cuando un elemento está sometido a flexión o compresión compuestas la tensión de referencia para calcular si el elemento es seguro o no se toma aproximadamente como:.

Donde:.

En situaciones donde las tensiones tangentes y el alabeo seccional de la sección sean importantes debe substituirse el miembro antes del signo de menor que, por la tensión de Von Mises y en la expresión de Navier debe contabilizarse el efecto del bimomento.

Carga crítica y longitud de pandeo

La carga crítica de un elemento estructural unidimensional esbelto corresponde a un esfuerzo axial por encima de la cual cualquier pequeña imperfección impide que exista un equilibrio estable. Para una pieza prismática recta muy esbelta, de material elástico y con extremos articulados, la carga crítica se aproxima mucho a la llamada carga crítica de Euler:.

Donde:.

En otros casos más complejos con otras condiciones en los extremos, con sección variable, etc, la carga crítica anterior debe ser corregida por un factor constante. En piezas de sección constante puede definirse además la longitud de pandeo o como:.

Donde:.

Si la pieza no es de sección constante no existe una manera de definir la longitud de pandeo, aunque el concepto de carga crítica sigue estando perfectamente definido.

En el enfoque moderno de la teoría de bifurcación corresponde a un punto del espacio de configuración tal que cualquier entorno "Entorno (matemática)") de ese punto se interseca con más de una solución de las ecuaciones de comportamiento estructural. Los elementos bidimensionales comprimidos como los muros de carga, entre otros, también pueden sufrir pandeo, aunque en ese caso la carga crítica se define en términos de la carga compresiva sobre el borde de la misma, para la que aparecen fenómenos de pandeo.

Esbeltez y coeficientes de pandeo

Usualmente las diferentes normas tecnológicas "Norma (tecnología)") prevén una reducción de la resistencia de pilares y otras piezas en términos de su esbeltez mecánica. Cuanto más esbelto sea el elemento tanto mayor será la reducción de su resistencia debida al probable efecto de pandeo sobre el mismo. Existen varias maneras, todas ellas esencialmente equivalentes, de tratar esta reducción de la resistencia por efecto del pandeo, por ejemplo el eurocódigo y el CTE definen la esbeltez mecánica reducida o razón entre la resistencia plástica de la sección de cálculo y la compresión crítica por pandeo, como:.

Donde:.

El factor de reducción de la resistencia por pandeo o (coeficiente ji), se define de acuerdo con el CTE simplemente como:.

Donde en la fórmula anterior:.

En vigas de alas anchas o de escasa rigidez torsional, el pandeo flexional convencional puede ir acompañado de la aparición de una torsión de la sección, resultando un modo de fallo mixto conocido como pandeo torsional o pandeo lateral. El momento torsor crítico para el cual aparecería ese tipo de fallo viene dado por:[4]​.

Donde las nuevas magnitudes son:.

Y el resto de magnitudes tienen el mismo significado que para el pandeo flexional puro. En piezas donde el momento de alabeo es despreciable puede usarse la expresión aproximada:.

Curva elástica

Una manera de encontrar la carga crítica de una estructura consiste en presuponer la forma cualitativa en que esta pandeará, parametrizando esa forma cualitativa mediante varios parámetros incógnita. Introduciendo esa forma cualitativa en la ecuación de la curva elástica y buscando que la solución parametrizada satisfaga las condiciones de contorno cualitativas, que normalmente se refieren a desplazamientos y giros de los nudos de las barras de la estructura, se obtienen relaciones entre los parámetros incógnita introducidos. El valor de la carga crítica es precisamente el que hace que dichas relaciones se cumplan.

El método de Euler para barras aisladas es un ejemplo de uso de este método. Por ejemplo para determinar la carga crítica de un pilar empotrado en su base y libre en el extremo tratamos de resolver la ecuación de la curva elástica bajo las siguientes condiciones:.

La solución de esa ecuación, en función del parámetro de desplazamiento horizontal del pilar, resulta ser:.

La condición de contorno en el extremo superior (donde h = H y w = δ) solo se cumple para ciertos valores de P, que cumplen:.

El menor de estos valores es precisamente el valor aceptado para la carga crítica de Euler de un pilar empotrado en su base y libre en su parte superior:.

Métodos energéticos

Para estructuras de una cierta complejidad el método anterior resulta de muy difícil aplicación, ya que requiere integrar un número elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal de la estructura.

Un método aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar la energía de deformación W con el trabajo exterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo W durante la deformación, W = W. Esas dos ecuaciones pueden escribirse en términos el campo de desplazamientos de los momentos flectores asociados. Para cada elemento lineal la energía de deformación y el trabajo exterior vienen dados por:.

Donde:.

Cuanto más ajustado sea el campo de desplazamientos supuesto w(x) mejores resultados da el método anterior.

En ingeniería estructural existe una necesidad práctica de dimensionar los elementos lineales sometidos a compresión con la suficiente sección transversal como para que no fallen por pandeo. La sección transversal necesaria para que eso no ocurra es muchas veces mayor que la que sería necesaria para soportar un esfuerzo de tracción de la misma magnitud (entre 1,5 y 6 veces en la mayoría de casos). La mayoría de normas usan un coeficiente de reducción de la resistencia cuando el esfuerzo sobre el elemento lineal es de compresión y no de tracción. El Eurocódigo por ejemplo da para la resistencia de un pilar sometido a compresión y tracción simples las siguientes resistencias:.

Donde:.

El mismo coeficiente se puede usar para estimar por exceso la tensión y determinar si un elemento es seguro. Así cuando un elemento está sometido a flexión o compresión compuestas la tensión de referencia para calcular si el elemento es seguro o no se toma aproximadamente como:.

Donde:.

En situaciones donde las tensiones tangentes y el alabeo seccional de la sección sean importantes debe substituirse el miembro antes del signo de menor que, por la tensión de Von Mises y en la expresión de Navier debe contabilizarse el efecto del bimomento.

Carga crítica y longitud de pandeo

La carga crítica de un elemento estructural unidimensional esbelto corresponde a un esfuerzo axial por encima de la cual cualquier pequeña imperfección impide que exista un equilibrio estable. Para una pieza prismática recta muy esbelta, de material elástico y con extremos articulados, la carga crítica se aproxima mucho a la llamada carga crítica de Euler:.

Donde:.

En otros casos más complejos con otras condiciones en los extremos, con sección variable, etc, la carga crítica anterior debe ser corregida por un factor constante. En piezas de sección constante puede definirse además la longitud de pandeo o como:.

Donde:.

Si la pieza no es de sección constante no existe una manera de definir la longitud de pandeo, aunque el concepto de carga crítica sigue estando perfectamente definido.

En el enfoque moderno de la teoría de bifurcación corresponde a un punto del espacio de configuración tal que cualquier entorno "Entorno (matemática)") de ese punto se interseca con más de una solución de las ecuaciones de comportamiento estructural. Los elementos bidimensionales comprimidos como los muros de carga, entre otros, también pueden sufrir pandeo, aunque en ese caso la carga crítica se define en términos de la carga compresiva sobre el borde de la misma, para la que aparecen fenómenos de pandeo.

Esbeltez y coeficientes de pandeo

Usualmente las diferentes normas tecnológicas "Norma (tecnología)") prevén una reducción de la resistencia de pilares y otras piezas en términos de su esbeltez mecánica. Cuanto más esbelto sea el elemento tanto mayor será la reducción de su resistencia debida al probable efecto de pandeo sobre el mismo. Existen varias maneras, todas ellas esencialmente equivalentes, de tratar esta reducción de la resistencia por efecto del pandeo, por ejemplo el eurocódigo y el CTE definen la esbeltez mecánica reducida o razón entre la resistencia plástica de la sección de cálculo y la compresión crítica por pandeo, como:.

Donde:.

El factor de reducción de la resistencia por pandeo o (coeficiente ji), se define de acuerdo con el CTE simplemente como:.

Donde en la fórmula anterior:.