Em vigas com banzos largos ou baixa rigidez torcional, a encurvadura por flexão convencional pode ser acompanhada pelo aparecimento de uma torção da seção, resultando em um modo de ruptura misto conhecido como encurvadura torcional ou encurvadura lateral. O momento crítico de torque para o qual este tipo de falha apareceria é dado por:[4]​.

Onde estão as novas magnitudes:.

E as demais grandezas têm o mesmo significado que para a encurvadura por flexão pura. Nas peças onde o momento de empenamento é desprezível, pode-se utilizar a expressão aproximada:.

curva elástica

Uma forma de encontrar a carga crítica de uma estrutura é pressupor a forma qualitativa como ela irá encurvar, parametrizando essa forma qualitativa usando vários parâmetros desconhecidos. Introduzindo esta forma qualitativa na equação da curva elástica e garantindo que a solução parametrizada satisfaz as condições de contorno qualitativas, que normalmente se referem a deslocamentos e rotações dos nós das barras da estrutura, obtêm-se relações entre os parâmetros desconhecidos introduzidos. O valor da carga crítica é justamente o que faz com que essas relações sejam cumpridas.

O método de Euler para barras isoladas é um exemplo da utilização deste método. Por exemplo, para determinar a carga crítica de um pilar embutido na sua base e livre na extremidade, tentamos resolver a equação da curva elástica nas seguintes condições:

A solução dessa equação, dependendo do parâmetro de deslocamento horizontal do pilar, acaba sendo:

A condição de contorno na extremidade superior (onde h = H e w = δ) só é satisfeita para certos valores de P, que satisfazem:.

O menor desses valores é justamente o valor aceito para a carga crítica de Euler de um pilar embutido em sua base e livre em seu topo:.

Métodos energéticos

Para estruturas de certa complexidade, o método anterior é muito difícil de aplicar, pois requer a integração de um grande número de equações diferenciais para cada elemento linear da estrutura.

Um método aproximado consiste em assumir aproximadamente as deformações associadas à encurvadura, que satisfaçam as condições de contorno nas extremidades das peças, e igualar a energia de deformação W com o trabalho externo realizado pela força que produz o fenómeno de encurvadura W durante a deformação, W = W. Estas duas equações podem ser escritas em termos do campo de deslocamento dos momentos fletores associados. Para cada elemento linear a energia de deformação e o trabalho externo são dados por:.

Onde:.

Quanto mais estreito for o campo de deslocamento assumido w(x), melhores resultados o método anterior fornece.

En ingeniería estructural existe una necesidad práctica de dimensionar los elementos lineales sometidos a compresión con la suficiente sección transversal como para que no fallen por pandeo. La sección transversal necesaria para que eso no ocurra es muchas veces mayor que la que sería necesaria para soportar un esfuerzo de tracción de la misma magnitud (entre 1,5 y 6 veces en la mayoría de casos). La mayoría de normas usan un coeficiente de reducción de la resistencia cuando el esfuerzo sobre el elemento lineal es de compresión y no de tracción. El Eurocódigo por ejemplo da para la resistencia de un pilar sometido a compresión y tracción simples las siguientes resistencias:.

Donde:.

El mismo coeficiente se puede usar para estimar por exceso la tensión y determinar si un elemento es seguro. Así cuando un elemento está sometido a flexión o compresión compuestas la tensión de referencia para calcular si el elemento es seguro o no se toma aproximadamente como:.

Donde:.

En situaciones donde las tensiones tangentes y el alabeo seccional de la sección sean importantes debe substituirse el miembro antes del signo de menor que, por la tensión de Von Mises y en la expresión de Navier debe contabilizarse el efecto del bimomento.

Carga crítica e comprimento de flambagem

A carga crítica de um elemento estrutural unidimensional delgado corresponde a uma tensão axial acima da qual qualquer pequena imperfeição impede a existência de equilíbrio estável. Para uma peça prismática reta muito delgada, feita de material elástico e com extremidades articuladas, a carga crítica é muito próxima da chamada carga crítica de Euler:.

Onde:.

Em outros casos mais complexos com outras condições nas extremidades, com seção variável, etc., a carga crítica anterior deverá ser corrigida por um fator constante. Em peças de seção constante, o comprimento de flambagem também pode ser definido como:

Onde:.

Se a peça não tiver seção constante, não há como definir o comprimento de flambagem, embora o conceito de carga crítica permaneça perfeitamente definido.

Na abordagem moderna da teoria da bifurcação corresponde a um ponto no espaço de configuração tal que qualquer ambiente "Ambiente (matemática)") desse ponto cruza com mais de uma solução das equações de comportamento estrutural. Elementos bidimensionais comprimidos, como paredes portantes, entre outros, também podem sofrer encurvadura, embora nesse caso a carga crítica seja definida em termos da carga de compressão na sua borda, para a qual aparecem fenómenos de encurvadura.

Esbeltez e coeficientes de flambagem

Normalmente os diferentes padrões tecnológicos “Standard (tecnologia)”) prevêem uma redução da resistência dos pilares e outras peças em termos da sua esbelteza mecânica. Quanto mais delgado for o elemento, maior será a redução da sua resistência devido ao provável efeito de flambagem sobre o mesmo. Existem várias formas, todas essencialmente equivalentes, de tratar esta redução da resistência devido à encurvadura, por exemplo o Eurocódigo e o CTE definem a esbeltez mecânica reduzida ou relação entre a resistência plástica da secção de cálculo e a compressão crítica devido à encurvadura, como:

Onde:.

O fator de redução da resistência à flambagem ou (coeficiente ji) é definido de acordo com o CTE simplesmente como:.

Onde na fórmula anterior:.

Em vigas com banzos largos ou baixa rigidez torcional, a encurvadura por flexão convencional pode ser acompanhada pelo aparecimento de uma torção da seção, resultando em um modo de ruptura misto conhecido como encurvadura torcional ou encurvadura lateral. O momento crítico de torque para o qual este tipo de falha apareceria é dado por:[4]​.

Onde estão as novas magnitudes:.

E as demais grandezas têm o mesmo significado que para a encurvadura por flexão pura. Nas peças onde o momento de empenamento é desprezível, pode-se utilizar a expressão aproximada:.

curva elástica

Uma forma de encontrar a carga crítica de uma estrutura é pressupor a forma qualitativa como ela irá encurvar, parametrizando essa forma qualitativa usando vários parâmetros desconhecidos. Introduzindo esta forma qualitativa na equação da curva elástica e garantindo que a solução parametrizada satisfaz as condições de contorno qualitativas, que normalmente se referem a deslocamentos e rotações dos nós das barras da estrutura, obtêm-se relações entre os parâmetros desconhecidos introduzidos. O valor da carga crítica é justamente o que faz com que essas relações sejam cumpridas.

O método de Euler para barras isoladas é um exemplo da utilização deste método. Por exemplo, para determinar a carga crítica de um pilar embutido na sua base e livre na extremidade, tentamos resolver a equação da curva elástica nas seguintes condições:

A solução dessa equação, dependendo do parâmetro de deslocamento horizontal do pilar, acaba sendo:

A condição de contorno na extremidade superior (onde h = H e w = δ) só é satisfeita para certos valores de P, que satisfazem:.

O menor desses valores é justamente o valor aceito para a carga crítica de Euler de um pilar embutido em sua base e livre em seu topo:.

Métodos energéticos

Para estruturas de certa complexidade, o método anterior é muito difícil de aplicar, pois requer a integração de um grande número de equações diferenciais para cada elemento linear da estrutura.

Um método aproximado consiste em assumir aproximadamente as deformações associadas à encurvadura, que satisfaçam as condições de contorno nas extremidades das peças, e igualar a energia de deformação W com o trabalho externo realizado pela força que produz o fenómeno de encurvadura W durante a deformação, W = W. Estas duas equações podem ser escritas em termos do campo de deslocamento dos momentos fletores associados. Para cada elemento linear a energia de deformação e o trabalho externo são dados por:.

Onde:.

Quanto mais estreito for o campo de deslocamento assumido w(x), melhores resultados o método anterior fornece.

En ingeniería estructural existe una necesidad práctica de dimensionar los elementos lineales sometidos a compresión con la suficiente sección transversal como para que no fallen por pandeo. La sección transversal necesaria para que eso no ocurra es muchas veces mayor que la que sería necesaria para soportar un esfuerzo de tracción de la misma magnitud (entre 1,5 y 6 veces en la mayoría de casos). La mayoría de normas usan un coeficiente de reducción de la resistencia cuando el esfuerzo sobre el elemento lineal es de compresión y no de tracción. El Eurocódigo por ejemplo da para la resistencia de un pilar sometido a compresión y tracción simples las siguientes resistencias:.

Donde:.

El mismo coeficiente se puede usar para estimar por exceso la tensión y determinar si un elemento es seguro. Así cuando un elemento está sometido a flexión o compresión compuestas la tensión de referencia para calcular si el elemento es seguro o no se toma aproximadamente como:.

Donde:.

En situaciones donde las tensiones tangentes y el alabeo seccional de la sección sean importantes debe substituirse el miembro antes del signo de menor que, por la tensión de Von Mises y en la expresión de Navier debe contabilizarse el efecto del bimomento.

Carga crítica e comprimento de flambagem

A carga crítica de um elemento estrutural unidimensional delgado corresponde a uma tensão axial acima da qual qualquer pequena imperfeição impede a existência de equilíbrio estável. Para uma peça prismática reta muito delgada, feita de material elástico e com extremidades articuladas, a carga crítica é muito próxima da chamada carga crítica de Euler:.

Onde:.

Em outros casos mais complexos com outras condições nas extremidades, com seção variável, etc., a carga crítica anterior deverá ser corrigida por um fator constante. Em peças de seção constante, o comprimento de flambagem também pode ser definido como:

Onde:.

Se a peça não tiver seção constante, não há como definir o comprimento de flambagem, embora o conceito de carga crítica permaneça perfeitamente definido.

Na abordagem moderna da teoria da bifurcação corresponde a um ponto no espaço de configuração tal que qualquer ambiente "Ambiente (matemática)") desse ponto cruza com mais de uma solução das equações de comportamento estrutural. Elementos bidimensionais comprimidos, como paredes portantes, entre outros, também podem sofrer encurvadura, embora nesse caso a carga crítica seja definida em termos da carga de compressão na sua borda, para a qual aparecem fenómenos de encurvadura.

Esbeltez e coeficientes de flambagem

Normalmente os diferentes padrões tecnológicos “Standard (tecnologia)”) prevêem uma redução da resistência dos pilares e outras peças em termos da sua esbelteza mecânica. Quanto mais delgado for o elemento, maior será a redução da sua resistência devido ao provável efeito de flambagem sobre o mesmo. Existem várias formas, todas essencialmente equivalentes, de tratar esta redução da resistência devido à encurvadura, por exemplo o Eurocódigo e o CTE definem a esbeltez mecânica reduzida ou relação entre a resistência plástica da secção de cálculo e a compressão crítica devido à encurvadura, como:

Onde:.

O fator de redução da resistência à flambagem ou (coeficiente ji) é definido de acordo com o CTE simplesmente como:.

Onde na fórmula anterior:.