Principios religiosos
Antiguo Egipto
Las pirámides "Pirámide (arquitectura)") del antiguo Egipto son monumentos funerarios construidos con proporciones matemáticas, pero se debate cuáles fueron y si se utilizó el teorema de Pitágoras. La relación entre la altura inclinada y la mitad de la longitud de la base de la Gran Pirámide de Guiza difiere aproximadamente el 1% con respecto al número áureo.[56] Si este fuera el método de diseño, implicaría el uso del triángulo de Kepler (ángulo de la cara 51° 49'),[56][57] pero según muchos historiadores de la ciencia, la proporción áurea no se conocía hasta la época de los pitagóricos.[58] La Gran Pirámide también puede haberse basado en un triángulo con una relación de base a hipotenusa de 1:4/π (ángulo de la cara 51° 50').[59].
Las proporciones de algunas pirámides también pueden haberse basado en el triángulo 3:4:5 (ángulo de la cara 53° 8'), conocido por el papiro de Ahmes (c. 1650-1550 a. C.). Esta posibilidad fue conjeturada por primera vez por el historiador Moritz Cantor en 1882.[60] Se sabe que los ángulos rectos se trazaron con precisión en el antiguo Egipto utilizando cuerdas con nudos para medir,[60] lo que Plutarco registró en su obra Isis y Osiris "Moralia (Obras morales y de costumbres)") (c. 100 d. C.), donde indica que los egipcios admiraban el triángulo 3:4:5.[60] Además, un pergamino de antes del 1700 a. C. incluye fórmulas básicas de sumas de cuadrados "Cuadrado (álgebra)").[61][62] El historiador Roger L. Cooke observa que "Es difícil imaginar a alguien interesado en tales condiciones sin conocer el teorema de Pitágoras", pero también señala que ningún texto egipcio anterior al 300 a. C. menciona en realidad el uso del teorema para encontrar la longitud de los lados de un triángulo, y que hay formas más sencillas de construir un ángulo recto. Cooke concluye que la conjetura de Cantor sigue siendo incierta; él supone que los antiguos egipcios probablemente conocían el teorema de Pitágoras, pero "no hay evidencia de que lo usaran para construir ángulos rectos".[60].
India antigua
Los vastu shastra, los antiguos cánones indios de arquitectura y planificación urbana, emplean dibujos simétricos llamados mandalas. Para llegar a las dimensiones de un edificio y de sus componentes, se utilizan cálculos complejos, y los diseños están destinados a integrar la arquitectura con la naturaleza, de forma que las funciones relativas de varias partes de la estructura se relacionan con creencias tradicionales que implican el uso de determinados patrones geométricos (yantra), condiciones de simetría y de orientación direccional.[63][64] Sin embargo, los primeros constructores pudieron haber encontrado proporciones matemáticas por accidente. El matemático Georges Ifrah señala que se pueden usar "trucos" simples con cuerdas y estacas para diseñar formas geométricas, como elipses y ángulos rectos.[12][65].
Las matemáticas de los fractales se han utilizado para demostrar que la razón por la que los edificios existentes tienen un atractivo universal y son visualmente satisfactorios es porque brindan al espectador una sensación de escala a diferentes distancias de visión. Por ejemplo, en las altas torres denominadas gopurams que dan entrada a los templos hindúes, como el Templo Virupaksha "Templo Virupaksha (Hampi)") de Hampi construido en el siglo , y otros como el Templo Kandariya Mahadev en Khajuraho, las partes y el todo tienen el mismo carácter, con dimensión fractal en el rango de 1,7 a 1,8. El grupo de torres más pequeñas ("shikhara", literalmente "montaña") alrededor de la torre central más alta que representa el santo monte Kailash, morada del Señor Shiva, representa la repetición interminable de universos en la cosmología hinduista.[2][66] El erudito en estudios religiosos William J. Jackson, comentó lo siguiente sobre el patrón de torres agrupadas entre torres más pequeñas, agrupadas entre torres aún más pequeñas:.
El Templo de Meenakshi Amman es un gran complejo con múltiples santuarios, con las calles de Madurai dispuestas concéntricamente a su alrededor de acuerdo con los shastras. Las cuatro puertas de entrada son torres altas (gopurams) con una estructura repetitiva de tipo fractal, como en Hampi. Los recintos alrededor de cada santuario son rectangulares y están rodeados por altos muros de piedra.[68].
Antigua Grecia
Pitágoras (c. 569-475 a. C.) y sus seguidores, los pitagóricos, sostenían que "todas las cosas son números". Observaron las armonías producidas por notas musicales con proporciones de frecuencia específicas relacionadas con números enteros pequeños, y argumentaron que los edificios también deberían diseñarse con tales proporciones. La palabra griega simetría denotaba originalmente la armonía de las formas arquitectónicas en proporciones precisas, que abarcaba desde los detalles más pequeños de un edificio hasta su diseño completo.[12].
El Partenón mide 69,5 metros (228 pies) de largo, 30,9 metros (101,4 pies) de ancho y 13,7 metros (44,9 pies) de alto hasta la cornisa. Esto da una relación de ancho a largo de 4:9, y lo mismo para el alto con respecto al ancho. Poniendo estas tres relaciones seguidas, se tiene que altura:ancho:largo están en las proporciones 16:36:81, o para deleite[69] de los pitagóricos 4:6:9, lo que implica un módulo de 0.858 m. Un rectángulo de proporción 4:9 se puede construir como tres rectángulos contiguos con lados en una proporción de 3:4. Cada medio rectángulo es entonces un triángulo rectángulo de lados en proporción 3:4:5, que permite comprobar los ángulos y los lados con una cuerda debidamente anudada. El área interior (naos) tiene igualmente proporciones de 4:9 (21,44 metros (70,3 pies) de ancho por 48,3 m de largo); la relación entre el diámetro de las columnas exteriores, 1,905 metros (6,3 pies), y el espaciado de sus centros, 4,293 metros (14,1 pies), también es de 4:9.[12].
El Partenón es considerado por autores como John Julius Norwich "el templo dórico más perfecto jamás construido".[70] Sus elaborados refinamientos arquitectónicos incluyen "una correspondencia sutil entre la curvatura del estilobato, el ahusamiento de las paredesde la naos y la entasis de las columnas".[70] El término éntasis se refiere a la sutil disminución del diámetro de las columnas a medida que se elevan. El estilobato es la plataforma sobre la que se apoyan las columnas. Como en otros templos griegos clásicos,[71] la plataforma tiene una ligera curvatura parabólica hacia arriba para evacuar el agua de lluvia y reforzar el edificio contra terremotos. Por lo tanto, podría suponerse que las columnas se inclinan hacia afuera, pero en realidad se inclinan ligeramente hacia adentro, de modo que si se prolongaran, se encontrarían aproximadamente a un kilómetro y medio por encima del centro del edificio; dado que todas las columnas tienen la misma altura, la curvatura del borde del estilobato exterior se transmite al arquitrabe y al techo superior: "todos siguen la regla de estar construidos con curvas delicadas".[72].
La proporción áurea se conoció en el 300 a. C., cuando Euclides describió el método de su construcción geométrica.[73] Se ha argumentado que la proporción áurea se utilizó en el diseño del Partenón y otros edificios griegos antiguos, así como en esculturas, pinturas y jarrones.[74] Autores más recientes como Nikos Salingaros, sin embargo, dudan de todas estas afirmaciones.[75] Los experimentos del científico informático George Markowsky no lograron encontrar ninguna preferencia por el rectángulo áureo.[76].
Arquitectura islámica
El historiador del arte islámico Antonio Fernández-Puertas sugiere que la Alhambra, al igual que la Mezquita-catedral de Córdoba,[77] fue diseñada usando el pie andalusí o codo de aproximadamente 0,62 metros (2 pies). En el Patio de los Leones del palacio, las proporciones siguen una serie de surd (raíces cuadradas). Un rectángulo de lados 1 y tiene (por el teorema de Pitágoras) una diagonal de , que describe el triángulo rectángulo formado por los lados del patio; esta serie continúa con (dando una proporción de 1:2), y así sucesivamente. Los patrones decorativos tienen proporciones similares, genera cuadrados dentro de círculos y estrellas de ocho puntas, genera estrellas de seis puntas. No hay evidencia que respalde afirmaciones anteriores de que la proporción áurea se usó en la Alhambra.[10][78] El Patio de los Leones está delimitado por el Salón de las Dos Hermanas y el Salón de los Abencerrajes. Se puede dibujar un hexágono regular desde los centros de estos dos salones y las cuatro esquinas interiores del Patio de los Leones.[79].
La Mezquita de Selim en Edirne, Turquía, fue construido por Sinan para proporcionar un espacio donde el mihrab pudiera verse desde cualquier lugar dentro del edificio. El gran espacio central está dispuesto, en consecuencia, como un octágono, formado por ocho pilares enormes y coronado por una cúpula circular de 31,25 metros (102,5 pies) de diámetro y 43 metros (141,1 pies) de altura. El octágono se forma en un cuadrado con cuatro semicúpulas, y externamente por cuatro minaretes excepcionalmente altos, 83 metros (272,3 pies) de altura. La planta del edificio es, por tanto, un círculo, dentro de un octágono, dentro de un cuadrado.[80].
Arquitectura mogol
La arquitectura mogola, como se ve en la ciudad imperial abandonada de Fatehpur Sikri y en el complejo del Taj Mahal, tiene un orden matemático distintivo y una estética fuertemente basada en la simetría y la armonía.[11][81].
El Taj Mahal ejemplifica la arquitectura mogola, tanto representando el paraíso[82] como mostrando el poder del emperador mogol Sha Jahan a través de su escala, simetría y suntuosa decoración. El mármol blanco del mausoleo, decorado con piedras semipreciosas, la gran puerta (Darwaza-i rauza), otros edificios, los jardines y los caminos, juntos forman un diseño jerárquico unificado. Los edificios incluyen una mezquita en piedra arenisca roja en el oeste, y un edificio casi idéntico, el Jawab o 'respuesta' en el este para mantener la simetría bilateral del complejo. El chahar bagh ('jardín cuádruple') se divide en cuatro partes, simbolizando los cuatro ríos del paraíso y ofreciendo vistas y reflejos del mausoleo, y a su vez se dividen en 16 parterres.[83].
El complejo del Taj Mahal se dispuso en una cuadrícula, subdividida en cuadrículas más pequeñas. Los historiadores de la arquitectura Koch y Barraud están de acuerdo con los relatos tradicionales que dan el ancho del complejo como de 374 yardas mogoles o gaz "Gaz (medida)"),[84] estando el área principal compuesta por tres cuadrados de 374 gaz de lado. Cada uno se subdividió en áreas como el bazar y el caravasar en módulos de 17 gaz; el jardín y las terrazas están en módulos de 23 gaz y tienen 368 gaz de ancho (16x23). El mausoleo, la mezquita y la casa de huéspedes se distribuyen en una cuadrícula de 7gaz. Koch y Barraud observan que si a un octágono, usado repetidamente en el complejo, se le dan lados de 7unidades, entonces tiene un ancho de 17 unidades,[85] lo que puede ayudar a explicar la elección de las proporciones en el complejo.[86].
Arquitectura cristiana
La basílica de Santa Sofía en Bizancio (ahora Estambul) se construyó en 537 como sede del patriarca de Constantinopla. Reconstruida dos veces, ostentó durante más de mil años el título de ser el mayor templo cristiano jamás construido.[87] Inspiró muchos edificios posteriores, incluida la Mezquita Azul y otras mezquitas de la ciudad del Bósforo. La distribución de su arquitectura bizantina original incluye una nave coronada por una cúpula circular y dos semicúpulas, todas del mismo diámetro (31 metros (101,7 pies)), con otras cinco semicúpulas más pequeñas que forman un ábside y cuatro esquinas redondeadas que delimitan un vasto interior rectangular.[88] Esta configuración fue interpretada por los arquitectos medievales como una representación del mundo terrenal en la parte de abajo (la base cuadrada) y los cielos divinos situados arriba (la elevada cúpula esférica).[89] El emperador Justiniano contó como arquitectos con dos geómetras, Isidoro de Mileto y Antemio de Trales. Isidoro había compilado las obras de Arquímedes sobre geometría del espacio, recibiendo la influencia del matemático griego.[12][90].
La importancia en el cristianismo del agua en el rito bautismal se reflejó en la escala de la arquitectura de los baptisterios. El más antiguo, el Baptisterio de Letrán de Roma, construido en 440,[91] marcó la tendencia de diseñar edificios octogonales. De hecho, la pila bautismal situada dentro de estos edificios era a menudo octogonal, aunque en el Baptisterio de Pisa, el más grande de Italia (construido entre 1152 y 1363), es circular, aunque posee una fuente octogonal. Mide 54,86 metros (180 pies) de alto, con un diámetro de 34,13 metros (112 pies) (una proporción de 8:5).[92] Ambrosio de Milán escribió que las pilas y los baptisterios eran octogonales "porque al octavo día,[94] al resucitar, Cristo acaba con la esclavitud de la muerte y recibe a los muertos de sus tumbas".[93][95].
San Agustín describió de manera similar el octavo día como "eterno ... santificado por la resurrección de Cristo".[95][96] El Baptisterio de San Juan (Florencia) "Baptisterio de San Juan (Florencia)") (construido entre 1059 y 1128) también es octogonal. Es uno de los edificios más antiguos de la ciudad, y uno de los últimos en la tradición directa de la antigüedad clásica. Llegó a convertirse en un ejemplo extremadamente influyente en el Renacimiento florentino posterior, ya que los principales arquitectos, incluidos Francesco Talenti, Alberti y Brunelleschi, lo utilizaron como modelo de arquitectura clásica.[97].
El número cinco se usa "exuberantemente"[98] en la Iglesia de peregrinación de San Juan Nepomuceno en Zelená (construida en 1721), cerca de Žďár nad Sázavou en la República Checa, diseñada por Jan Blažej Santini Aichel. La nave es circular, rodeada por cinco pares de columnas y cinco cúpulas ovaladas que se alternan con ábsides ojivales. Además, la iglesia tiene cinco puertas, cinco capillas, cinco altares y cinco estrellas; una leyenda afirma que cuando Juan Nepomuceno fue martirizado, cinco estrellas aparecieron sobre su cabeza.[98][99] La repetición de grupos de cinco elementos también puede simbolizar las cinco llagas de Jesucristo y las cinco letras de "Tacui" (en latín: "Guardé silencio" sobre los secretos del [confesonario]).[100].