Teorías matemáticas de la sustentación
Las teorías matemáticas de la sustentación se basan en la mecánica de fluidos continuos, suponiendo que el aire fluye como un fluido continuo.[92][93][94] La sustentación se genera de acuerdo con los principios fundamentales de la física, siendo los más relevantes los tres principios siguientes:[95].
Dado que un perfil aerodinámico afecta al flujo en una amplia zona a su alrededor, las leyes de conservación de la mecánica se plasman en forma de ecuaciones diferenciales parciales combinadas con un conjunto de requisitos de condiciones de contorno que el flujo debe satisfacer en la superficie del perfil aerodinámico y lejos de él.[96].
Para predecir la sustentación es necesario resolver las ecuaciones para una forma de perfil aerodinámico y unas condiciones de flujo determinadas, lo que generalmente requiere cálculos tan voluminosos que sólo son prácticos en un ordenador, mediante los métodos de dinámica de fluidos computacional (CFD). La determinación de la fuerza aerodinámica neta a partir de una solución CFD requiere "sumar" (integrar "Integración (matemáticas)")) las fuerzas debidas a la presión y al cizallamiento determinadas por la CFD sobre cada elemento de la superficie del perfil aerodinámico, como se describe en "integración_de_presión".
Las ecuaciones de Navier-Stokes (NS) proporcionan la teoría potencialmente más exacta de la sustentación, pero en la práctica, capturar los efectos de la turbulencia en la capa límite en la superficie del perfil requiere sacrificar algo de exactitud, y requiere el uso de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS). También se han desarrollado teorías más sencillas pero menos precisas.
Ecuaciones de Navier-Stokes (NS)
Estas ecuaciones representan la conservación de la masa, la segunda ley de Newton (conservación del momento), la conservación de la energía, la Ley de Newton para la acción de la viscosidad, la Ley de conducción de calor de Fourier, una ecuación de estado que relaciona densidad, temperatura y presión, y fórmulas para la viscosidad y la conductividad térmica del fluido.[97][98].
En principio, las ecuaciones NS, combinadas con condiciones de contorno de ausencia de flujo pasante y ausencia de deslizamiento en la superficie aerodinámica, podrían utilizarse para predecir la sustentación en cualquier situación de vuelo atmosférico ordinario con gran precisión. Sin embargo, los flujos de aire en situaciones prácticas siempre implican turbulencias en la capa límite próxima a la superficie aerodinámica, al menos en la parte de popa del perfil. Predecir la sustentación resolviendo las ecuaciones NS en su forma pura requeriría que los cálculos resolvieran los detalles de la turbulencia, hasta el remolino más pequeño. Esto todavía no es posible, ni siquiera en los ordenadores actuales más potentes.[99] Así que, en principio, las ecuaciones NS proporcionan una teoría completa y muy precisa de la sustentación, pero la predicción práctica de la sustentación requiere que los efectos de la turbulencia se modelen en las ecuaciones RANS en lugar de calcularse directamente.
Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS)
Estas son las ecuaciones NS con los movimientos de turbulencia promediados en el tiempo, y los efectos de la turbulencia en el flujo promediado en el tiempo representado por modelado de turbulencia (un conjunto adicional de ecuaciones basadas en una combinación de análisis dimensional e información empírica sobre cómo la turbulencia afecta a una capa límite en un sentido promedio promediado en el tiempo).[100][101] Una solución RANS consiste en el vector de velocidad promediada en el tiempo, la presión, la densidad y la temperatura definidas en una densa red de puntos que rodean el perfil aerodinámico.
La cantidad de cálculo requerida es una fracción minúscula (milmillonésimas)[99] de lo que se necesitaría para resolver todos los movimientos de turbulencia en un cálculo NS sin procesar, y con los grandes ordenadores disponibles ahora es práctico llevar a cabo cálculos RANS para aviones completos en tres dimensiones. Dado que los modelos de turbulencia no son perfectos, la precisión de los cálculos RANS es imperfecta, pero adecuada para el diseño práctico de aviones. La sustentación predicha por RANS suele estar dentro de unos pocos puntos porcentuales de la sustentación real.
Ecuaciones de flujo no viscoso (Euler o potencial)
Las Ecuaciones de Euler "Ecuaciones de Euler (fluidos)") son las ecuaciones NS sin los efectos de viscosidad, conducción de calor y turbulencia.[102] Al igual que con una solución RANS, una solución Euler consiste en el vector velocidad, presión, densidad y temperatura definidos en una densa malla de puntos que rodean el perfil aerodinámico. Aunque las ecuaciones de Euler son más simples que las ecuaciones NS, no se prestan a soluciones analíticas exactas.
La teoría del flujo potencial permite una mayor simplificación, ya que reduce el número de incógnitas que hay que determinar y, en algunos casos, posibilita soluciones analíticas, como se describe a continuación.
Tanto los cálculos de Euler como los de flujo potencial predicen la distribución de presiones en las superficies aerodinámicas de forma aproximadamente correcta para ángulos de ataque por debajo de la entrada en pérdida, donde pueden errar en la sustentación total hasta en un 10-20%. En ángulos de ataque por encima de la entrada en pérdida, los cálculos no viscosos no predicen que se ha producido la entrada en pérdida y, como resultado, sobrestiman enormemente la sustentación.
En la teoría del flujo potencial, se supone que el flujo es irrotacional"), es decir, que las pequeñas parcelas de fluido no tienen velocidad neta de rotación. Matemáticamente, esto se expresa mediante la afirmación de que el curl&action=edit&redlink=1 "Curl (matemáticas) (aún no redactado)") del campo vectorial de velocidad es igual a cero en todas partes. Los flujos irrotacionales tienen la conveniente propiedad de que la velocidad puede expresarse como el gradiente de una función escalar llamada potencial. Un flujo representado de esta manera se denomina flujo potencial.[103][104][105][106].
En la teoría del flujo potencial, se supone que el flujo es incompresible. La teoría del flujo potencial incompresible tiene la ventaja de que la ecuación (ecuación de Laplace) a resolver para el potencial es lineal, lo que permite construir soluciones por superposición de otras soluciones conocidas. La ecuación incompresible-potencial-flujo también puede resolverse mediante mapeo conforme"), un método basado en la teoría de funciones de una variable compleja. A principios del siglo , antes de que existieran los ordenadores, se utilizó el mapeo conforme para generar soluciones de la ecuación de flujo potencial incompresible para una clase de formas aerodinámicas idealizadas, proporcionando algunas de las primeras predicciones teóricas prácticas de la distribución de presión en un aerodinámico elevable.
Una solución de la ecuación de potencial determina directamente sólo el campo de velocidad. El campo de presión se deduce del campo de velocidad mediante la ecuación de Bernoulli.
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La aplicación de la teoría del flujo potencial a un flujo ascendente requiere un tratamiento especial y una suposición adicional. El problema surge porque la sustentación en un perfil aerodinámico en flujo no viscoso requiere circulación "Circulación (dinámica de fluidos)") en el flujo alrededor del perfil aerodinámico (Ver "Circulación y el teorema de Kutta-Joukowski" más abajo), pero una única función potencial que sea continua en todo el dominio alrededor del perfil aerodinámico no puede representar un flujo con circulación distinta de cero. La solución a este problema es introducir un corte de rama, una curva o línea desde algún punto de la superficie aerodinámica hasta una distancia infinita, y permitir un salto en el valor del potencial a través del corte. El salto en el potencial impone una circulación en el flujo igual al salto de potencial y, por tanto, permite representar una circulación distinta de cero. Sin embargo, el salto de potencial es un parámetro libre que no viene determinado por la ecuación de potencial ni por las demás condiciones de contorno, por lo que la solución es indeterminada. Existe una solución potencial-flujo para cualquier valor de la circulación y cualquier valor de la elevación. Una forma de resolver esta indeterminación es imponer la condición de Kutta,[107][108] que consiste en que, de todas las soluciones posibles, la solución físicamente razonable es aquella en la que el flujo abandona el borde de salida suavemente. Los croquis de las líneas de corriente ilustran un patrón de flujo con sustentación nula, en el que el flujo rodea el borde de fuga y abandona la superficie superior por delante del borde de fuga, y otro patrón de flujo con sustentación positiva, en el que el flujo abandona suavemente el borde de fuga de acuerdo con la condición de Kutta.
Flujo potencial linealizado
Se trata de la teoría del flujo potencial con las suposiciones adicionales de que el perfil aerodinámico es muy delgado y el ángulo de ataque es pequeño.[109] La teoría linealizada predice el carácter general de la distribución de la presión en el perfil aerodinámico y cómo se ve influida por la forma del perfil aerodinámico y el ángulo de ataque, pero no es lo suficientemente precisa para el trabajo de diseño. Para un perfil aerodinámico 2D, estos cálculos pueden realizarse en una fracción de segundo en una hoja de cálculo de un PC.
Circulación y teorema de Kutta-Joukowski
Cuando un perfil aerodinámico genera sustentación, varios componentes del campo de velocidad global contribuyen a una circulación neta de aire a su alrededor: el flujo ascendente por delante del perfil aerodinámico, el flujo acelerado por encima, el flujo desacelerado por debajo y el flujo descendente por detrás.
La circulación puede entenderse como la cantidad total de "giro" (o vorticidad) de un fluido no viscoso alrededor del perfil aerodinámico.
El Teorema de Kutta-Yukovski relaciona la sustentación por unidad de anchura de vano de un perfil aerodinámico bidimensional con esta componente de circulación del flujo.[85][110][111] Es un elemento clave en una explicación de la sustentación que sigue el desarrollo del flujo alrededor de un perfil aerodinámico a medida que el perfil aerodinámico inicia su movimiento desde el reposo y se forma y deja atrás un vórtice inicial"), que conduce a la formación de circulación alrededor del perfil aerodinámico.[112][113][114] La sustentación se deduce entonces del teorema de Kutta-Joukowski. Esta explicación es en gran medida matemática, y su progresión general se basa en la inferencia lógica, no en la causa-efecto física.[115].
El modelo de Kutta-Joukowski no predice cuánta circulación o sustentación producirá un perfil aerodinámico bidimensional. El cálculo de la sustentación por unidad de luz mediante Kutta-Joukowski requiere un valor conocido de la circulación. En particular, si se cumple la condición de Kutta, en la que el punto de estancamiento posterior se desplaza hasta el borde de salida del perfil aerodinámico y se fija allí durante todo el vuelo, la sustentación puede calcularse teóricamente mediante el método del mapa conforme.
La sustentación generada por un perfil aerodinámico convencional viene dictada tanto por su diseño como por las condiciones de vuelo, como la velocidad de avance, el ángulo de ataque y la densidad del aire. La sustentación puede incrementarse aumentando artificialmente la circulación, por ejemplo mediante el soplado de la capa límite o el uso de flap soplados. En el rotor Flettner todo el perfil aerodinámico es circular y gira alrededor de un eje de envergadura para crear la circulación.