Contenido

Un ejemplo común es un columpio de parque, que actúa como un péndulo. Al empujar a una persona en un columpio en sincronía con el intervalo natural del columpio (su frecuencia de resonancia), el columpio sube cada vez más (amplitud máxima), mientras los intentos de empujar el columpio con un «tempo» más rápido o más lento producen que los arcos sean más pequeños. Esto se debe a que la energía que absorbe el columpio se maximiza cuando los empujones se emparejan con las oscilaciones naturales del mismo.

La resonancia ocurre extensamente en la naturaleza y es explotada en muchos dispositivos hechos por el hombre. Es el mecanismo por el que prácticamente todas las ondas sinusoidales y las vibraciones son generadas. Muchos sonidos que escuchamos, como cuando objetos duros de metal, vidrio, o la madera son golpeados, están causado por vibraciones resonantes breves en el objeto. La luz y otras radiaciones electromagnéticas de corta longitud de onda son producidas por la resonancia a escala atómica, tales como los electrones en los átomos. Otros ejemplos de resonancia:.

A ponte Tacoma Narrows

A torção dramaticamente visível e rítmica que resultou no colapso da ponte Tacoma Narrows em 1940 é erroneamente caracterizada como um exemplo do fenômeno de ressonância em certos textos.[4] As vibrações catastróficas que destruíram a ponte não foram devidas à simples ressonância mecânica, mas à interação entre a ponte e o vento que a atravessa, produzindo um fenômeno conhecido como vibração, que empurrava periodicamente a ponte, fazendo-a mover-se como uma "oscilação autossustentada"). Robert H. Scanlan), pai da aerodinâmica de pontes, escreveu um artigo sobre esse mal-entendido.[5]​.

A Estação Espacial Internacional

Os motores do foguete da Estação Espacial Internacional (ISS) são controlados por piloto automático. Normalmente, os parâmetros instalados para controlar o sistema de controle do motor do módulo Zvezda fazem com que os motores do foguete impulsionem a Estação Espacial Internacional para uma órbita mais alta. Os motores de foguete são montados em dobradiças; a tripulação geralmente não tem conhecimento da operação. Porém, em 14 de janeiro de 2009, os parâmetros carregados fizeram com que o piloto automático balançasse os motores do foguete em oscilações cada vez mais amplas, a uma frequência de 0,5 Hz. Essas oscilações foram capturadas em vídeo e duraram 142 segundos.[6]​.

La resonancia se manifiesta en varios sistemas lineales y no lineales como oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio. Cuando el sistema es impulsado por una entrada sinusoidal externa, una salida del sistema puede oscilar en respuesta. La razón entre la amplitud de las oscilaciones estables de la salida y las oscilaciones de entrada es llamada ganancia, y la ganancia puede ser una función de la frecuencia de la entrada sinusoidal externa. Los picos en la ganancia a ciertas frecuencias corresponden a resonancias, donde la amplitud de las oscilaciones de salida son desproporcionalmente largas.

Dado que la mayoría de sistemas lineales y no lineales son modelados como osciladores armónicos cerca de su equilibrio, esta sección comienza con la derivada de la frecuencia resonante de un oscilador armónico amortiguado. La sección continúa con un el uso de un circuito RLC para ilustrar las conexiones entre resonancia y la función de transferencia de un sistema, respuesta de frecuencia, polos y ceros. Partiendo del ejemplo del circuito RLC, la sección generaliza esta relación para sistemas lineales de orden superior con múltiples entradas y salidas.

Ressonância de um oscilador amortecido e acionado

Considerando uma massa ancorada em uma mola que é acionada por uma força senoidal externa aplicada na qual o sistema é amortecido. A segunda lei de Newton assume a forma de:.

Onde m é a massa, x o deslocamento da massa do ponto de equilíbrio, F a amplitude, ω é a frequência angular, k é a constante da mola e c é o coeficiente de viscosidade. Isso pode assumir a forma de:.

Onde.

ω também é conhecido em outros lugares como frequência de ressonância. Porém, conforme mostrado abaixo, quando analisamos as oscilações do deslocamento x(t), a frequência de ressonância é próxima, mas não igual a ω. O exemplo do circuito RLC na próxima seção fornece exemplos de diferentes frequências ressonantes para o mesmo sistema.

A solução geral da equação (2) é a soma de uma solução transitória que depende das condições iniciais e uma solução de estado estacionário que é independente das condições iniciais e depende apenas da amplitude F, da frequência angular externa ω, da frequência natural ω e do fator de amortecimento ζ. O estado estacionário decai num período de tempo relativamente curto, portanto para estudar a ressonância basta considerar a solução no estado estacionário.

É possível escrever a solução de estado estacionário para x(t) como uma função proporcional à força motriz com uma mudança de Fase (onda) "Fase (onda)") φ,.

Onde.

O valor da fase normalmente está entre -180° e 0°, portanto representa um atraso ou deslocamento para os valores positivos e negativos do argumento arctan.

A ressonância ocorre quando, em certas frequências de condução, a amplitude de estado estacionário de x(t) é grande em comparação com sua amplitude em outras frequências. Para a massa em uma mola, a ressonância corresponde fisicamente a oscilações da massa que apresentam grandes deslocamentos da posição de equilíbrio da mola em certas frequências de ativação. Observando a amplitude de x(t) em função da frequência ω, a amplitude é máxima na frequência natural.

ω é a frequência de ressonância deste sistema. Novamente, observe que a frequência de ressonância não é igual à frequência angular natural ω do oscilador. Eles são proporcionais, e se o fator de amortecimento chegar a zero eles são iguais, mas se não for zero eles não têm a mesma frequência. Conforme mostrado na figura, a ressonância também pode ocorrer em outras frequências próximas à frequência de ressonância, incluindo ω, mas a resposta máxima é a frequência de ressonância.

Observe que ω é real e diferente de zero se, portanto, este sistema só pode ressoar quando o oscilador harmônico é significativamente amortecido. Para sistemas com uma taxa de amortecimento muito pequena e uma frequência de acionamento próxima da frequência de ressonância, as oscilações em estado estacionário podem tornar-se muito grandes.

Para outros osciladores harmônicos controlados e amortecidos cujas equações de movimento não se parecem exatamente com as da massa em um exemplo de mola, a frequência de ressonância permanece.

Mas as definições de ω e ζ mudam dependendo da física do sistema. Para um pêndulo de comprimento l e um pequeno deslocamento angular θ <15°, a Equação (1) torna-se:.

e portanto.

Veja também: Circuito RLC § Circuito em série.

Considere um circuito composto por um resistor com resistência R , um indutor com indutância L e um capacitor com capacitância C conectados em série com a corrente i ( t ) e acionados por uma fonte de tensão "Tensão (eletricidade)") com tensão v ( t ). A queda de tensão ao redor do circuito é.

Em vez de analisar uma solução proposta para esta equação como na massa da mola do exemplo anterior, esta seção analisará a resposta em frequência deste circuito. Tomando a equação de Laplace transformada ( 4 ).

onde I (s) e V (s) são a transformada de Laplace da corrente e tensão de entrada, respectivamente, e s é um parâmetro de frequência complexo") no domínio de Laplace. Reorganizando os termos.

Ressonância de tensão em um capacitor.

Um circuito RLC em série apresenta diversas opções para localizar um local para medir uma tensão de saída. Suponha que a tensão de saída de interesse seja a queda de tensão no capacitor. Como mostrado acima, no domínio de Laplace esta tensão é.

qualquer.

Defina para este circuito uma frequência natural e uma taxa de amortecimento.

A relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada torna-se.

Onde H ( s ) é a função de transferência entre a tensão de entrada e a tensão de saída. Observe que esta função de transferência tem dois pólos") – raízes do polinômio no denominador da função de transferência.

e sem raízes diferentes de zero do polinômio no numerador da função de transferência. Além disso, observe que para ζ ≤ 1, a magnitude desses pólos é a frequência natural ω e que para ζ < 1 /, nossa condição de ressonância no exemplo do oscilador harmônico, os pólos estão mais próximos do eixo imaginário do que do eixo real.

Ao avaliar H (s) ao longo do eixo imaginário s = iω, a função de transferência descreve a resposta de frequência deste circuito. De forma equivalente, a resposta de frequência pode ser analisada tomando a transformada de Fourier da equação (4) em vez da transformada de Laplace. A função de transferência, que também é complexa, pode ser escrita como ganho e fase.

Uma tensão de entrada senoidal na frequência ω resulta em uma tensão de saída na mesma frequência que foi escalonada por G (ω) e tem uma mudança de fase Φ (ω). O ganho e a fase podem ser plotados em relação à frequência em um gráfico de Bode. Para a tensão do capacitor do circuito RLC, o ganho da função de transferência H (iω) é.

Observe a semelhança entre ganho e amplitude na equação (3). Mais uma vez, o ganho é maximizado na frequência de ressonância..

Aqui, a ressonância corresponde fisicamente a ter uma amplitude relativamente grande para as oscilações em estado estacionário da tensão através do capacitor em comparação com sua amplitude em outras frequências de acionamento.

A frequência de ressonância nem sempre precisa assumir a forma dada nos exemplos acima. Suponha que, para o circuito RLC, a tensão de saída de interesse seja a tensão no indutor. Como mostrado acima, no domínio de Laplace, a tensão no indutor é.

usando as mesmas definições para ω e ζ como no exemplo anterior. A função de transferência entre V (s) e este novo V (s) através do indutor é.

Observe que esta função de transferência tem os mesmos pólos que a função de transferência no exemplo anterior, mas também tem dois zeros no numerador em s = 0. Ao avaliar H (s) ao longo do eixo imaginário, seu ganho se torna .

Comparado ao ganho na equação (6) que usa a tensão do capacitor como saída, esse ganho tem um fator ω no numerador e, portanto, terá uma frequência de ressonância diferente que maximiza o ganho. Essa frequência é.

Portanto, para o mesmo circuito RLC, mas com a tensão no indutor como saída, a frequência de ressonância é agora maior que a frequência natural, embora ainda tenda para a frequência natural à medida que a taxa de amortecimento vai para zero. Que o mesmo circuito possa ter diferentes frequências de ressonância para diferentes opções de saída não é contraditório. Conforme mostrado na equação (4), a queda de tensão no circuito é dividida entre os três elementos do circuito, e cada elemento possui uma dinâmica diferente. A tensão do capacitor cresce lentamente integrando a corrente ao longo do tempo e é, portanto, mais sensível a frequências mais baixas, enquanto a tensão do indutor aumenta quando a corrente muda rapidamente e é, portanto, mais sensível a frequências mais altas. Embora o circuito como um todo tenha uma frequência natural na qual tende a oscilar, as diferentes dinâmicas de cada elemento do circuito fazem com que cada elemento ressoe em uma frequência ligeiramente diferente.[7]​.

Suponha que a tensão de saída de interesse seja a tensão no resistor. No domínio de Laplace, a tensão no resistor é.

e usando a mesma frequência natural e taxa de amortecimento do exemplo do capacitor, a função de transferência é.

Observe que esta função de transferência também possui os mesmos pólos dos exemplos de circuito RLC acima, mas possui apenas um zero no numerador em s = 0. Para esta função de transferência, seu ganho é .

A frequência ressonante que maximiza esse ganho é.

e o ganho é um nesta frequência, então a tensão no resistor ressoa na frequência natural do circuito e nesta frequência a amplitude da tensão no resistor é igual à amplitude da tensão de entrada.

Ressonância mecânica e acústica

Ressonância mecânica é a tendência de um sistema mecânico de absorver mais energia quando a frequência de suas oscilações corresponde à frequência natural de vibração do sistema do que em outras frequências. Pode causar movimentos violentos de oscilação e até mesmo falhas catastróficas em estruturas construídas inadequadamente, incluindo pontes, edifícios, trens e aviões. Ao projetar objetos, os engenheiros devem garantir que as frequências de ressonância mecânica das peças componentes não coincidam com as frequências vibracionais dos motores ou outras peças oscilantes, um fenômeno conhecido como desastre de ressonância.

Evitar desastres de ressonância é uma grande preocupação em todos os projetos de construção, construção de torres e pontes. Como contramedida, pode ser instalada uma montagem flutuante para absorver frequências ressonantes e, assim, dissipar a energia absorvida. O edifício Taipei 101 depende de um amortecedor de massa de 660 toneladas (727,5 ST; 660.000 kg) - para cancelar a ressonância. Além disso, a estrutura foi projetada para ressoar em uma frequência que normalmente não ocorre. Os edifícios em zonas sísmicas são frequentemente construídos para ter em conta as frequências oscilantes do movimento esperado do solo. Além disso, os objetos de projeto de engenharia que possuem motores devem garantir que as frequências de ressonância mecânica das peças componentes não coincidam com as frequências vibracionais dos motores ou outras peças fortemente oscilantes.

O relógio marca o tempo por ressonância mecânica em um balanço, pêndulo ou cristal de quartzo.

Foi levantada a hipótese de que a cadência dos corredores é energeticamente favorável devido à ressonância entre a energia elástica armazenada na extremidade inferior e a massa do corredor.

A ressonância acústica é um ramo da ressonância mecânica que trata das vibrações mecânicas em toda a faixa de frequência da audição humana, ou seja, do som. Para os humanos, a audição é normalmente limitada a frequências entre aproximadamente 20 Hz e 20.000 Hz (20 kHz),[8] Muitos objetos e materiais atuam como ressonadores com frequências ressonantes dentro desta faixa e, quando atingidos, vibram mecanicamente, empurrando o ar circundante para criar som. Esta é a fonte de muitos sons percussivos que ouvimos.

A ressonância acústica é uma consideração importante para os fabricantes de instrumentos, pois a maioria dos instrumentos usa ressonadores, como as cordas e o corpo de um violino, o comprimento do tubo de uma flauta e o formato e a tensão de uma membrana de tambor.

Assim como a ressonância mecânica, a ressonância acústica pode levar à falha catastrófica do objeto ressonante. O exemplo clássico disso é quebrar uma taça de vinho com som na frequência ressonante precisa da taça, embora isso seja difícil na prática.[9]​.

ressonância elétrica

A ressonância elétrica ocorre em um circuito elétrico em uma frequência ressonante específica quando a impedância do circuito é mínima em um circuito em série ou em paralelo (geralmente quando a função de transferência atinge seu valor máximo absoluto). A ressonância em circuitos é usada para transmitir e receber comunicações sem fio, como televisão, telefones celulares e rádio.[10]​.

Ressonância óptica

Uma cavidade óptica, também chamada de “ressonador óptico”, é um arranjo de espelho que forma um ressonador de onda estacionária para a luz. As cavidades ópticas são um importante componente do meio ativo, circundando o meio de ganho e fornecendo feedback da luz laser. Eles também são usados ​​em osciladores paramétricos ópticos e alguns interferômetros. A luz confinada na cavidade é refletida diversas vezes produzindo ondas estacionárias para determinadas frequências de ressonância. Os padrões de ondas estacionárias produzidos são chamados de "modos". Os modos longitudinais diferem apenas na frequência, enquanto o modo transversal difere para diferentes frequências e possuem diferentes padrões de intensidade na seção transversal do feixe. Ring Resonators e Whispering Gallery são exemplos de ressonadores ópticos que não formam ondas estacionárias.

Os diferentes tipos de ressonadores distinguem-se pelas distâncias focais dos dois espelhos e pela distância entre eles; Os espelhos planos não são usados ​​com frequência devido à dificuldade de alinhá-los com precisão. A geometria (tipo de ressonador) deve ser escolhida de forma que o feixe permaneça estável, ou seja, o tamanho do feixe não continue a crescer a cada reflexão. Os tipos de ressonadores também são projetados para atender a outros critérios, como cintura mínima do feixe ou não ter um ponto focal (e, portanto, luz intensa nesse ponto) dentro da cavidade.

As cavidades ópticas são projetadas para ter um fator Q.[11]​ Um feixe reflete um grande número de vezes com pouca atenuação - portanto, na frequência, a largura da linha do feixe é pequena em comparação com a frequência do laser.

Ressonâncias ópticas adicionais são ressonâncias de modo guiado e ressonâncias de plasmon de superfície, que resultam em reflexão anômala e campos evanescentes elevados na ressonância. Neste caso, os modos ressonantes são modos guiados de um guia de ondas ou modos plasmônicos de superfície de uma interface dielétrica-metálica. Esses modos são geralmente excitados por uma rede de subcomprimento de onda.

Ressonância orbital

Na mecânica celeste, uma ressonância orbital ocorre quando dois corpos em órbita exercem uma influência gravitacional periódica um sobre o outro, geralmente porque seu período orbital está relacionado por uma razão de dois números inteiros pequenos. As ressonâncias orbitais aumentam muito a influência gravitacional mútua dos corpos. Na maioria dos casos, isso resulta em uma interação “instável”, na qual os corpos trocam impulso e mudam de órbita até que a ressonância não exista mais. Em algumas circunstâncias, um sistema ressonante pode ser estável e autocorretivo, de modo que os corpos permaneçam em ressonância. Exemplos são a ressonância 1:2:4 das luas de Júpiter Ganimedes "Ganimedes (lua)"), Europa "Europa (lua)") e Io "Io (satélite)"), e a ressonância 2:3 entre Plutão "Plutão (planeta anão)") e Netuno "Netuno (planeta)"). Ressonâncias instáveis ​​com as luas internas de Saturno ( "Saturno (planeta)") dão origem a lacunas nos anéis de Saturno. O caso especial de ressonância 1:1 (entre corpos com raios orbitais semelhantes) faz com que grandes corpos do Sistema Solar limpem a vizinhança em torno das suas órbitas, ejetando quase tudo o que os rodeia. Este efeito é usado na definição atual de planeta.

Ressonância atômica, de partículas e molecular

Ressonância magnética nuclear (RMN) é o nome dado a um fenômeno de ressonância física que envolve a observação das propriedades magnéticas da mecânica quântica do núcleo de um átomo na presença de um campo magnético externo aplicado. Muitas técnicas científicas exploram fenômenos de RMN para estudar física molecular, materiais cristalinos e não cristalinos por meio de espectroscopia de ressonância magnética nuclear. A RMN também é comumente usada em técnicas avançadas de imagens médicas, como a ressonância magnética (MRI).

Todos os núcleos contendo números ímpares de núcleons têm um momento magnético e um momento angular intrínseco. Uma característica fundamental da RMN é que a frequência de ressonância de uma substância específica é diretamente proporcional à força do campo magnético aplicado. É esta característica que é explorada nas técnicas de imagem; Se uma amostra for colocada em um campo magnético não uniforme, as frequências de ressonância dos núcleos na amostra dependerão de onde eles estão localizados no campo. Portanto, a partícula pode ser localizada com bastante precisão pela sua frequência de ressonância.

A ressonância paramagnética eletrônica, também conhecida como ressonância de spin eletrônico (EER), é uma técnica espectroscópica semelhante à RMN, mas usa elétrons desemparelhados. Os materiais para os quais pode ser aplicado são muito mais limitados, uma vez que o material deve ter spin desemparelhado e ser paramagnético.

O efeito Mössbauer é a emissão e absorção ressonante e sem recuo de fótons de raios gama por átomos ligados na forma sólida.

Ressonância na física de partículas "Ressonância (física de partículas)") aparece em circunstâncias semelhantes à física clássica no nível da mecânica quântica e da teoria quântica de campos. No entanto, elas também podem ser consideradas partículas instáveis, sendo a fórmula acima válida se Γ for a taxa de decaimento e Ω substituído pela massa da partícula M. Nesse caso, a fórmula vem do propagador ] da partícula, com sua massa substituída pelo número complexo M + iΓ. A fórmula está mais relacionada à desintegração de partículas pelo teorema óptico.

Um sistema físico pode ter tantas frequências de ressonância quantos graus de liberdade; cada grau de liberdade pode vibrar como um oscilador harmônico. Sistemas com um grau de liberdade, como massa em uma mola, rodas de balanço, pêndulo e circuitos sintonizados LC, possuem uma frequência ressonante. Sistemas com dois graus de liberdade, como pêndulos acoplados e transformadores ressonantes, podem ter duas frequências ressonantes. À medida que o número de osciladores harmônicos acoplados aumenta, o tempo necessário para transferir energia de um para outro torna-se significativo. As vibrações neles começam a viajar através dos osciladores harmônicos acoplados em ondas, de um oscilador para o outro.

Objetos estendidos que podem sofrer ressonância devido a vibrações dentro deles são chamados de ressonadores, como tubo de órgão, corda vibrante, quartzo, micro-ondas e laser. Como você pode ver que eles são feitos de muitas partes móveis acopladas (como átomos), eles podem ter muitas frequências de ressonância. As vibrações dentro deles viajam como ondas, a uma velocidade aproximadamente constante, saltando para frente e para trás entre os lados do ressonador. Se a distância entre os lados for d , a duração de uma viagem de ida e volta será 2d . Para causar ressonância, a fase de uma onda senoidal após um percurso de ida e volta deve ser igual à fase inicial, para que as ondas reforcem a oscilação. Portanto, a condição para ressonância em um ressonador é que a distância de ida e volta, 2d , seja igual a um número inteiro de comprimentos de onda λ da onda:.

Se a velocidade de uma onda for v, a frequência é: f = então as frequências de ressonância são:.

Então, as frequências ressonantes dos ressonadores.

Chamados de modos normais, eles são múltiplos igualmente espaçados de uma frequência mais baixa chamada frequência fundamental. Os múltiplos são frequentemente chamados de harmônicos. Pode haver várias séries de frequências ressonantes, correspondendo a diferentes modos de oscilação.

O fator de qualidade é uma quantidade adimensional (ver magnitude adimensional), um parâmetro que descreve um movimento amortecido, como um oscilador ou ressonador.

Um Q mais alto indica uma taxa mais baixa de perda de energia em relação à energia armazenada do oscilador, de modo que as oscilações irão parar lentamente. Um pêndulo de rolamento de alta qualidade suspenso, oscilando no ar, tem um Q mais alto, enquanto um pêndulo imerso em óleo teria um Q mais baixo. Para manter um sistema em ressonância com amplitude constante, a energia deve ser fornecida externamente; a energia fornecida em cada ciclo deve ser menor que a energia armazenada no sistema (ou seja, a soma do potencial e da cinética) por um fator de. Osciladores com fatores de alta qualidade possuem baixo amortecimento, o que tende a fazer com que ressoem por mais tempo.

Ressonadores com fatores Q mais altos ressoam com amplitudes maiores (na frequência de ressonância), mas têm uma faixa menor de frequências em torno da frequência na qual ressoam. A faixa de frequências na qual o oscilador ressoa é chamada de largura de banda. Portanto, um circuito sintonizado com Q alto em um receptor de rádio seria mais difícil de sintonizar, mas teria maior seletividade, fazendo um trabalho melhor de filtragem de sinais de outras estações próximas ao espectro. Osciladores "Q" altos operam em uma faixa menor de frequências e são mais estáveis. (Veja ruído de fase.).

O fator de qualidade dos osciladores varia substancialmente de um sistema para outro. Sistemas para os quais o amortecimento é importante (como amortecedores que evitam que uma porta bata) têm Q = , por outro lado, relógios, lasers e outros sistemas que precisam de ressonância forte ou estabilidade de alta frequência precisam de fatores de alta qualidade, por exemplo, diapasões

têm um fator de qualidade em torno de Q = 1000, enquanto o fator de qualidade de um relógio atômico e um laser alto pode atingir Q =10[13]​ e pode até ser maior.[14]​ Físicos e engenheiros usam muitas quantidades alternativas para descrever o quão amortecido é um oscilador que estão intimamente relacionados ao seu fator de qualidade.

A resposta exata de uma ressonância, especialmente para frequências distantes da frequência ressonante, depende dos detalhes do sistema físico e geralmente não é exatamente simétrica em relação à frequência ressonante, como ilustrado para o oscilador harmônico. Para um oscilador linear levemente amortecido com frequência de ressonância Ω, a intensidade das oscilações I quando o sistema opera com uma frequência de acionamento ω é normalmente aproximada por uma fórmula que é simétrica em relação à frequência de ressonância:[15]​.

Onde a suscetibilidade liga a amplitude do oscilador à força motriz no espaço de frequência:[16]​.

A intensidade é definida como o quadrado da amplitude das oscilações. Esta é uma função Lorentziana, ou distribuição de Cauchy, e esta resposta é encontrada em muitas situações físicas envolvendo sistemas ressonantes. Γ é um parâmetro que depende do amortecimento do oscilador e é conhecido como largura de linha da ressonância. Osciladores altamente amortecidos tendem a ter larguras de linha amplas e respondem a uma faixa mais ampla de frequências de acionamento em torno da frequência de ressonância. A largura da linha é inversamente proporcional ao fator de qualidade, que é uma medida da nitidez da ressonância.

Na engenharia de transmissão e na engenharia eletrônica, essa resposta simétrica aproximada é conhecida como curva de ressonância universal, um conceito introduzido por Frederick Terman em 1932 para simplificar a análise aproximada de circuitos de rádio com uma faixa de frequências centrais e valores Q.[17][18]​.

A ressonância ocorre quando um sistema é capaz de armazenar e transferir facilmente energia entre duas ou mais formas diferentes de armazenamento (como energia cinética e energia potencial no caso de um pêndulo simples). No entanto, existem algumas perdas de ciclo para ciclo, chamadas de amortecimento. Quando o amortecimento é pequeno, a frequência de ressonância é aproximadamente igual à frequência natural do sistema, que é uma frequência de vibrações não forçadas. Alguns sistemas possuem múltiplas frequências ressonantes.

Contenido

Un ejemplo común es un columpio de parque, que actúa como un péndulo. Al empujar a una persona en un columpio en sincronía con el intervalo natural del columpio (su frecuencia de resonancia), el columpio sube cada vez más (amplitud máxima), mientras los intentos de empujar el columpio con un «tempo» más rápido o más lento producen que los arcos sean más pequeños. Esto se debe a que la energía que absorbe el columpio se maximiza cuando los empujones se emparejan con las oscilaciones naturales del mismo.

La resonancia ocurre extensamente en la naturaleza y es explotada en muchos dispositivos hechos por el hombre. Es el mecanismo por el que prácticamente todas las ondas sinusoidales y las vibraciones son generadas. Muchos sonidos que escuchamos, como cuando objetos duros de metal, vidrio, o la madera son golpeados, están causado por vibraciones resonantes breves en el objeto. La luz y otras radiaciones electromagnéticas de corta longitud de onda son producidas por la resonancia a escala atómica, tales como los electrones en los átomos. Otros ejemplos de resonancia:.

A ponte Tacoma Narrows

A torção dramaticamente visível e rítmica que resultou no colapso da ponte Tacoma Narrows em 1940 é erroneamente caracterizada como um exemplo do fenômeno de ressonância em certos textos.[4] As vibrações catastróficas que destruíram a ponte não foram devidas à simples ressonância mecânica, mas à interação entre a ponte e o vento que a atravessa, produzindo um fenômeno conhecido como vibração, que empurrava periodicamente a ponte, fazendo-a mover-se como uma "oscilação autossustentada"). Robert H. Scanlan), pai da aerodinâmica de pontes, escreveu um artigo sobre esse mal-entendido.[5]​.

A Estação Espacial Internacional

Os motores do foguete da Estação Espacial Internacional (ISS) são controlados por piloto automático. Normalmente, os parâmetros instalados para controlar o sistema de controle do motor do módulo Zvezda fazem com que os motores do foguete impulsionem a Estação Espacial Internacional para uma órbita mais alta. Os motores de foguete são montados em dobradiças; a tripulação geralmente não tem conhecimento da operação. Porém, em 14 de janeiro de 2009, os parâmetros carregados fizeram com que o piloto automático balançasse os motores do foguete em oscilações cada vez mais amplas, a uma frequência de 0,5 Hz. Essas oscilações foram capturadas em vídeo e duraram 142 segundos.[6]​.

La resonancia se manifiesta en varios sistemas lineales y no lineales como oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio. Cuando el sistema es impulsado por una entrada sinusoidal externa, una salida del sistema puede oscilar en respuesta. La razón entre la amplitud de las oscilaciones estables de la salida y las oscilaciones de entrada es llamada ganancia, y la ganancia puede ser una función de la frecuencia de la entrada sinusoidal externa. Los picos en la ganancia a ciertas frecuencias corresponden a resonancias, donde la amplitud de las oscilaciones de salida son desproporcionalmente largas.

Dado que la mayoría de sistemas lineales y no lineales son modelados como osciladores armónicos cerca de su equilibrio, esta sección comienza con la derivada de la frecuencia resonante de un oscilador armónico amortiguado. La sección continúa con un el uso de un circuito RLC para ilustrar las conexiones entre resonancia y la función de transferencia de un sistema, respuesta de frecuencia, polos y ceros. Partiendo del ejemplo del circuito RLC, la sección generaliza esta relación para sistemas lineales de orden superior con múltiples entradas y salidas.

Ressonância de um oscilador amortecido e acionado

Considerando uma massa ancorada em uma mola que é acionada por uma força senoidal externa aplicada na qual o sistema é amortecido. A segunda lei de Newton assume a forma de:.

Onde m é a massa, x o deslocamento da massa do ponto de equilíbrio, F a amplitude, ω é a frequência angular, k é a constante da mola e c é o coeficiente de viscosidade. Isso pode assumir a forma de:.

Onde.

ω também é conhecido em outros lugares como frequência de ressonância. Porém, conforme mostrado abaixo, quando analisamos as oscilações do deslocamento x(t), a frequência de ressonância é próxima, mas não igual a ω. O exemplo do circuito RLC na próxima seção fornece exemplos de diferentes frequências ressonantes para o mesmo sistema.

A solução geral da equação (2) é a soma de uma solução transitória que depende das condições iniciais e uma solução de estado estacionário que é independente das condições iniciais e depende apenas da amplitude F, da frequência angular externa ω, da frequência natural ω e do fator de amortecimento ζ. O estado estacionário decai num período de tempo relativamente curto, portanto para estudar a ressonância basta considerar a solução no estado estacionário.

É possível escrever a solução de estado estacionário para x(t) como uma função proporcional à força motriz com uma mudança de Fase (onda) "Fase (onda)") φ,.

Onde.

O valor da fase normalmente está entre -180° e 0°, portanto representa um atraso ou deslocamento para os valores positivos e negativos do argumento arctan.

A ressonância ocorre quando, em certas frequências de condução, a amplitude de estado estacionário de x(t) é grande em comparação com sua amplitude em outras frequências. Para a massa em uma mola, a ressonância corresponde fisicamente a oscilações da massa que apresentam grandes deslocamentos da posição de equilíbrio da mola em certas frequências de ativação. Observando a amplitude de x(t) em função da frequência ω, a amplitude é máxima na frequência natural.

ω é a frequência de ressonância deste sistema. Novamente, observe que a frequência de ressonância não é igual à frequência angular natural ω do oscilador. Eles são proporcionais, e se o fator de amortecimento chegar a zero eles são iguais, mas se não for zero eles não têm a mesma frequência. Conforme mostrado na figura, a ressonância também pode ocorrer em outras frequências próximas à frequência de ressonância, incluindo ω, mas a resposta máxima é a frequência de ressonância.

Observe que ω é real e diferente de zero se, portanto, este sistema só pode ressoar quando o oscilador harmônico é significativamente amortecido. Para sistemas com uma taxa de amortecimento muito pequena e uma frequência de acionamento próxima da frequência de ressonância, as oscilações em estado estacionário podem tornar-se muito grandes.

Para outros osciladores harmônicos controlados e amortecidos cujas equações de movimento não se parecem exatamente com as da massa em um exemplo de mola, a frequência de ressonância permanece.

Mas as definições de ω e ζ mudam dependendo da física do sistema. Para um pêndulo de comprimento l e um pequeno deslocamento angular θ <15°, a Equação (1) torna-se:.

e portanto.

Veja também: Circuito RLC § Circuito em série.

Considere um circuito composto por um resistor com resistência R , um indutor com indutância L e um capacitor com capacitância C conectados em série com a corrente i ( t ) e acionados por uma fonte de tensão "Tensão (eletricidade)") com tensão v ( t ). A queda de tensão ao redor do circuito é.

Em vez de analisar uma solução proposta para esta equação como na massa da mola do exemplo anterior, esta seção analisará a resposta em frequência deste circuito. Tomando a equação de Laplace transformada ( 4 ).

onde I (s) e V (s) são a transformada de Laplace da corrente e tensão de entrada, respectivamente, e s é um parâmetro de frequência complexo") no domínio de Laplace. Reorganizando os termos.

Ressonância de tensão em um capacitor.

Um circuito RLC em série apresenta diversas opções para localizar um local para medir uma tensão de saída. Suponha que a tensão de saída de interesse seja a queda de tensão no capacitor. Como mostrado acima, no domínio de Laplace esta tensão é.

qualquer.

Defina para este circuito uma frequência natural e uma taxa de amortecimento.

A relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada torna-se.

Onde H ( s ) é a função de transferência entre a tensão de entrada e a tensão de saída. Observe que esta função de transferência tem dois pólos") – raízes do polinômio no denominador da função de transferência.

e sem raízes diferentes de zero do polinômio no numerador da função de transferência. Além disso, observe que para ζ ≤ 1, a magnitude desses pólos é a frequência natural ω e que para ζ < 1 /, nossa condição de ressonância no exemplo do oscilador harmônico, os pólos estão mais próximos do eixo imaginário do que do eixo real.

Ao avaliar H (s) ao longo do eixo imaginário s = iω, a função de transferência descreve a resposta de frequência deste circuito. De forma equivalente, a resposta de frequência pode ser analisada tomando a transformada de Fourier da equação (4) em vez da transformada de Laplace. A função de transferência, que também é complexa, pode ser escrita como ganho e fase.

Uma tensão de entrada senoidal na frequência ω resulta em uma tensão de saída na mesma frequência que foi escalonada por G (ω) e tem uma mudança de fase Φ (ω). O ganho e a fase podem ser plotados em relação à frequência em um gráfico de Bode. Para a tensão do capacitor do circuito RLC, o ganho da função de transferência H (iω) é.

Observe a semelhança entre ganho e amplitude na equação (3). Mais uma vez, o ganho é maximizado na frequência de ressonância..

Aqui, a ressonância corresponde fisicamente a ter uma amplitude relativamente grande para as oscilações em estado estacionário da tensão através do capacitor em comparação com sua amplitude em outras frequências de acionamento.

A frequência de ressonância nem sempre precisa assumir a forma dada nos exemplos acima. Suponha que, para o circuito RLC, a tensão de saída de interesse seja a tensão no indutor. Como mostrado acima, no domínio de Laplace, a tensão no indutor é.

usando as mesmas definições para ω e ζ como no exemplo anterior. A função de transferência entre V (s) e este novo V (s) através do indutor é.

Observe que esta função de transferência tem os mesmos pólos que a função de transferência no exemplo anterior, mas também tem dois zeros no numerador em s = 0. Ao avaliar H (s) ao longo do eixo imaginário, seu ganho se torna .

Comparado ao ganho na equação (6) que usa a tensão do capacitor como saída, esse ganho tem um fator ω no numerador e, portanto, terá uma frequência de ressonância diferente que maximiza o ganho. Essa frequência é.

Portanto, para o mesmo circuito RLC, mas com a tensão no indutor como saída, a frequência de ressonância é agora maior que a frequência natural, embora ainda tenda para a frequência natural à medida que a taxa de amortecimento vai para zero. Que o mesmo circuito possa ter diferentes frequências de ressonância para diferentes opções de saída não é contraditório. Conforme mostrado na equação (4), a queda de tensão no circuito é dividida entre os três elementos do circuito, e cada elemento possui uma dinâmica diferente. A tensão do capacitor cresce lentamente integrando a corrente ao longo do tempo e é, portanto, mais sensível a frequências mais baixas, enquanto a tensão do indutor aumenta quando a corrente muda rapidamente e é, portanto, mais sensível a frequências mais altas. Embora o circuito como um todo tenha uma frequência natural na qual tende a oscilar, as diferentes dinâmicas de cada elemento do circuito fazem com que cada elemento ressoe em uma frequência ligeiramente diferente.[7]​.

Suponha que a tensão de saída de interesse seja a tensão no resistor. No domínio de Laplace, a tensão no resistor é.

e usando a mesma frequência natural e taxa de amortecimento do exemplo do capacitor, a função de transferência é.

Observe que esta função de transferência também possui os mesmos pólos dos exemplos de circuito RLC acima, mas possui apenas um zero no numerador em s = 0. Para esta função de transferência, seu ganho é .

A frequência ressonante que maximiza esse ganho é.

e o ganho é um nesta frequência, então a tensão no resistor ressoa na frequência natural do circuito e nesta frequência a amplitude da tensão no resistor é igual à amplitude da tensão de entrada.

Ressonância mecânica e acústica

Ressonância mecânica é a tendência de um sistema mecânico de absorver mais energia quando a frequência de suas oscilações corresponde à frequência natural de vibração do sistema do que em outras frequências. Pode causar movimentos violentos de oscilação e até mesmo falhas catastróficas em estruturas construídas inadequadamente, incluindo pontes, edifícios, trens e aviões. Ao projetar objetos, os engenheiros devem garantir que as frequências de ressonância mecânica das peças componentes não coincidam com as frequências vibracionais dos motores ou outras peças oscilantes, um fenômeno conhecido como desastre de ressonância.

Evitar desastres de ressonância é uma grande preocupação em todos os projetos de construção, construção de torres e pontes. Como contramedida, pode ser instalada uma montagem flutuante para absorver frequências ressonantes e, assim, dissipar a energia absorvida. O edifício Taipei 101 depende de um amortecedor de massa de 660 toneladas (727,5 ST; 660.000 kg) - para cancelar a ressonância. Além disso, a estrutura foi projetada para ressoar em uma frequência que normalmente não ocorre. Os edifícios em zonas sísmicas são frequentemente construídos para ter em conta as frequências oscilantes do movimento esperado do solo. Além disso, os objetos de projeto de engenharia que possuem motores devem garantir que as frequências de ressonância mecânica das peças componentes não coincidam com as frequências vibracionais dos motores ou outras peças fortemente oscilantes.

O relógio marca o tempo por ressonância mecânica em um balanço, pêndulo ou cristal de quartzo.

Foi levantada a hipótese de que a cadência dos corredores é energeticamente favorável devido à ressonância entre a energia elástica armazenada na extremidade inferior e a massa do corredor.

A ressonância acústica é um ramo da ressonância mecânica que trata das vibrações mecânicas em toda a faixa de frequência da audição humana, ou seja, do som. Para os humanos, a audição é normalmente limitada a frequências entre aproximadamente 20 Hz e 20.000 Hz (20 kHz),[8] Muitos objetos e materiais atuam como ressonadores com frequências ressonantes dentro desta faixa e, quando atingidos, vibram mecanicamente, empurrando o ar circundante para criar som. Esta é a fonte de muitos sons percussivos que ouvimos.

A ressonância acústica é uma consideração importante para os fabricantes de instrumentos, pois a maioria dos instrumentos usa ressonadores, como as cordas e o corpo de um violino, o comprimento do tubo de uma flauta e o formato e a tensão de uma membrana de tambor.

Assim como a ressonância mecânica, a ressonância acústica pode levar à falha catastrófica do objeto ressonante. O exemplo clássico disso é quebrar uma taça de vinho com som na frequência ressonante precisa da taça, embora isso seja difícil na prática.[9]​.

ressonância elétrica

A ressonância elétrica ocorre em um circuito elétrico em uma frequência ressonante específica quando a impedância do circuito é mínima em um circuito em série ou em paralelo (geralmente quando a função de transferência atinge seu valor máximo absoluto). A ressonância em circuitos é usada para transmitir e receber comunicações sem fio, como televisão, telefones celulares e rádio.[10]​.

Ressonância óptica

Uma cavidade óptica, também chamada de “ressonador óptico”, é um arranjo de espelho que forma um ressonador de onda estacionária para a luz. As cavidades ópticas são um importante componente do meio ativo, circundando o meio de ganho e fornecendo feedback da luz laser. Eles também são usados ​​em osciladores paramétricos ópticos e alguns interferômetros. A luz confinada na cavidade é refletida diversas vezes produzindo ondas estacionárias para determinadas frequências de ressonância. Os padrões de ondas estacionárias produzidos são chamados de "modos". Os modos longitudinais diferem apenas na frequência, enquanto o modo transversal difere para diferentes frequências e possuem diferentes padrões de intensidade na seção transversal do feixe. Ring Resonators e Whispering Gallery são exemplos de ressonadores ópticos que não formam ondas estacionárias.

Os diferentes tipos de ressonadores distinguem-se pelas distâncias focais dos dois espelhos e pela distância entre eles; Os espelhos planos não são usados ​​com frequência devido à dificuldade de alinhá-los com precisão. A geometria (tipo de ressonador) deve ser escolhida de forma que o feixe permaneça estável, ou seja, o tamanho do feixe não continue a crescer a cada reflexão. Os tipos de ressonadores também são projetados para atender a outros critérios, como cintura mínima do feixe ou não ter um ponto focal (e, portanto, luz intensa nesse ponto) dentro da cavidade.

As cavidades ópticas são projetadas para ter um fator Q.[11]​ Um feixe reflete um grande número de vezes com pouca atenuação - portanto, na frequência, a largura da linha do feixe é pequena em comparação com a frequência do laser.

Ressonâncias ópticas adicionais são ressonâncias de modo guiado e ressonâncias de plasmon de superfície, que resultam em reflexão anômala e campos evanescentes elevados na ressonância. Neste caso, os modos ressonantes são modos guiados de um guia de ondas ou modos plasmônicos de superfície de uma interface dielétrica-metálica. Esses modos são geralmente excitados por uma rede de subcomprimento de onda.

Ressonância orbital

Na mecânica celeste, uma ressonância orbital ocorre quando dois corpos em órbita exercem uma influência gravitacional periódica um sobre o outro, geralmente porque seu período orbital está relacionado por uma razão de dois números inteiros pequenos. As ressonâncias orbitais aumentam muito a influência gravitacional mútua dos corpos. Na maioria dos casos, isso resulta em uma interação “instável”, na qual os corpos trocam impulso e mudam de órbita até que a ressonância não exista mais. Em algumas circunstâncias, um sistema ressonante pode ser estável e autocorretivo, de modo que os corpos permaneçam em ressonância. Exemplos são a ressonância 1:2:4 das luas de Júpiter Ganimedes "Ganimedes (lua)"), Europa "Europa (lua)") e Io "Io (satélite)"), e a ressonância 2:3 entre Plutão "Plutão (planeta anão)") e Netuno "Netuno (planeta)"). Ressonâncias instáveis ​​com as luas internas de Saturno ( "Saturno (planeta)") dão origem a lacunas nos anéis de Saturno. O caso especial de ressonância 1:1 (entre corpos com raios orbitais semelhantes) faz com que grandes corpos do Sistema Solar limpem a vizinhança em torno das suas órbitas, ejetando quase tudo o que os rodeia. Este efeito é usado na definição atual de planeta.

Ressonância atômica, de partículas e molecular

Ressonância magnética nuclear (RMN) é o nome dado a um fenômeno de ressonância física que envolve a observação das propriedades magnéticas da mecânica quântica do núcleo de um átomo na presença de um campo magnético externo aplicado. Muitas técnicas científicas exploram fenômenos de RMN para estudar física molecular, materiais cristalinos e não cristalinos por meio de espectroscopia de ressonância magnética nuclear. A RMN também é comumente usada em técnicas avançadas de imagens médicas, como a ressonância magnética (MRI).

Todos os núcleos contendo números ímpares de núcleons têm um momento magnético e um momento angular intrínseco. Uma característica fundamental da RMN é que a frequência de ressonância de uma substância específica é diretamente proporcional à força do campo magnético aplicado. É esta característica que é explorada nas técnicas de imagem; Se uma amostra for colocada em um campo magnético não uniforme, as frequências de ressonância dos núcleos na amostra dependerão de onde eles estão localizados no campo. Portanto, a partícula pode ser localizada com bastante precisão pela sua frequência de ressonância.

A ressonância paramagnética eletrônica, também conhecida como ressonância de spin eletrônico (EER), é uma técnica espectroscópica semelhante à RMN, mas usa elétrons desemparelhados. Os materiais para os quais pode ser aplicado são muito mais limitados, uma vez que o material deve ter spin desemparelhado e ser paramagnético.

O efeito Mössbauer é a emissão e absorção ressonante e sem recuo de fótons de raios gama por átomos ligados na forma sólida.

Ressonância na física de partículas "Ressonância (física de partículas)") aparece em circunstâncias semelhantes à física clássica no nível da mecânica quântica e da teoria quântica de campos. No entanto, elas também podem ser consideradas partículas instáveis, sendo a fórmula acima válida se Γ for a taxa de decaimento e Ω substituído pela massa da partícula M. Nesse caso, a fórmula vem do propagador ] da partícula, com sua massa substituída pelo número complexo M + iΓ. A fórmula está mais relacionada à desintegração de partículas pelo teorema óptico.

Um sistema físico pode ter tantas frequências de ressonância quantos graus de liberdade; cada grau de liberdade pode vibrar como um oscilador harmônico. Sistemas com um grau de liberdade, como massa em uma mola, rodas de balanço, pêndulo e circuitos sintonizados LC, possuem uma frequência ressonante. Sistemas com dois graus de liberdade, como pêndulos acoplados e transformadores ressonantes, podem ter duas frequências ressonantes. À medida que o número de osciladores harmônicos acoplados aumenta, o tempo necessário para transferir energia de um para outro torna-se significativo. As vibrações neles começam a viajar através dos osciladores harmônicos acoplados em ondas, de um oscilador para o outro.

Objetos estendidos que podem sofrer ressonância devido a vibrações dentro deles são chamados de ressonadores, como tubo de órgão, corda vibrante, quartzo, micro-ondas e laser. Como você pode ver que eles são feitos de muitas partes móveis acopladas (como átomos), eles podem ter muitas frequências de ressonância. As vibrações dentro deles viajam como ondas, a uma velocidade aproximadamente constante, saltando para frente e para trás entre os lados do ressonador. Se a distância entre os lados for d , a duração de uma viagem de ida e volta será 2d . Para causar ressonância, a fase de uma onda senoidal após um percurso de ida e volta deve ser igual à fase inicial, para que as ondas reforcem a oscilação. Portanto, a condição para ressonância em um ressonador é que a distância de ida e volta, 2d , seja igual a um número inteiro de comprimentos de onda λ da onda:.

Se a velocidade de uma onda for v, a frequência é: f = então as frequências de ressonância são:.

Então, as frequências ressonantes dos ressonadores.

Chamados de modos normais, eles são múltiplos igualmente espaçados de uma frequência mais baixa chamada frequência fundamental. Os múltiplos são frequentemente chamados de harmônicos. Pode haver várias séries de frequências ressonantes, correspondendo a diferentes modos de oscilação.

O fator de qualidade é uma quantidade adimensional (ver magnitude adimensional), um parâmetro que descreve um movimento amortecido, como um oscilador ou ressonador.

Um Q mais alto indica uma taxa mais baixa de perda de energia em relação à energia armazenada do oscilador, de modo que as oscilações irão parar lentamente. Um pêndulo de rolamento de alta qualidade suspenso, oscilando no ar, tem um Q mais alto, enquanto um pêndulo imerso em óleo teria um Q mais baixo. Para manter um sistema em ressonância com amplitude constante, a energia deve ser fornecida externamente; a energia fornecida em cada ciclo deve ser menor que a energia armazenada no sistema (ou seja, a soma do potencial e da cinética) por um fator de. Osciladores com fatores de alta qualidade possuem baixo amortecimento, o que tende a fazer com que ressoem por mais tempo.

Ressonadores com fatores Q mais altos ressoam com amplitudes maiores (na frequência de ressonância), mas têm uma faixa menor de frequências em torno da frequência na qual ressoam. A faixa de frequências na qual o oscilador ressoa é chamada de largura de banda. Portanto, um circuito sintonizado com Q alto em um receptor de rádio seria mais difícil de sintonizar, mas teria maior seletividade, fazendo um trabalho melhor de filtragem de sinais de outras estações próximas ao espectro. Osciladores "Q" altos operam em uma faixa menor de frequências e são mais estáveis. (Veja ruído de fase.).

O fator de qualidade dos osciladores varia substancialmente de um sistema para outro. Sistemas para os quais o amortecimento é importante (como amortecedores que evitam que uma porta bata) têm Q = , por outro lado, relógios, lasers e outros sistemas que precisam de ressonância forte ou estabilidade de alta frequência precisam de fatores de alta qualidade, por exemplo, diapasões

têm um fator de qualidade em torno de Q = 1000, enquanto o fator de qualidade de um relógio atômico e um laser alto pode atingir Q =10[13]​ e pode até ser maior.[14]​ Físicos e engenheiros usam muitas quantidades alternativas para descrever o quão amortecido é um oscilador que estão intimamente relacionados ao seu fator de qualidade.

A resposta exata de uma ressonância, especialmente para frequências distantes da frequência ressonante, depende dos detalhes do sistema físico e geralmente não é exatamente simétrica em relação à frequência ressonante, como ilustrado para o oscilador harmônico. Para um oscilador linear levemente amortecido com frequência de ressonância Ω, a intensidade das oscilações I quando o sistema opera com uma frequência de acionamento ω é normalmente aproximada por uma fórmula que é simétrica em relação à frequência de ressonância:[15]​.

Onde a suscetibilidade liga a amplitude do oscilador à força motriz no espaço de frequência:[16]​.

A intensidade é definida como o quadrado da amplitude das oscilações. Esta é uma função Lorentziana, ou distribuição de Cauchy, e esta resposta é encontrada em muitas situações físicas envolvendo sistemas ressonantes. Γ é um parâmetro que depende do amortecimento do oscilador e é conhecido como largura de linha da ressonância. Osciladores altamente amortecidos tendem a ter larguras de linha amplas e respondem a uma faixa mais ampla de frequências de acionamento em torno da frequência de ressonância. A largura da linha é inversamente proporcional ao fator de qualidade, que é uma medida da nitidez da ressonância.

Na engenharia de transmissão e na engenharia eletrônica, essa resposta simétrica aproximada é conhecida como curva de ressonância universal, um conceito introduzido por Frederick Terman em 1932 para simplificar a análise aproximada de circuitos de rádio com uma faixa de frequências centrais e valores Q.[17][18]​.