Advanced fractal models
Introduction
A fractal is a geometric object whose basic structure, fragmented or apparently irregular, is repeated at different scales (self-similarity).[1] The term was proposed by the mathematician Benoît Mandelbrot in 1975 and derives from the Latin fractus, which means broken or fractured. Many natural structures are fractal type. The key mathematical property of a genuinely fractal object is that its fractal metric dimension is a non-integer number greater than its topological dimension (which is always an integer).
Although the term "fractal" is recent, the objects today called fractals were well known in mathematics since the beginning of the century. The most common ways to determine what we today call fractal dimension were established at the beginning of the century in the field of measurement theory.
Contenido
La definición de fractal desarrollada en los años 1970 dio unidad a una serie de ejemplos, algunos de los cuales se remontaban a un siglo antes. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:[2].
• - Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
• - Es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Ejemplos de autosimilitud:.
• - Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
• - Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras[3] o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
The classic examples
To find the first examples of fractals we must go back to the end of the century: in 1872 the Weierstrass function appeared, whose graph today we would consider fractal, as an example of a continuous function but not differentiable at any point.